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高錕教授說：“我們聽到什么，都會(huì)按自己當(dāng)時(shí)要的反應(yīng)來處理，但是實(shí)際上我們并沒有絕對(duì)性的了解。這正是現(xiàn)在信息時(shí)代里最大的問題。”
科學(xué)能夠解決這個(gè)問題嗎？他說：“我覺得很難。”
高錕先生這段話很有意思。這起碼說明他是個(gè)教育家，從事過教育工作。
數(shù)學(xué)教育存在著一些難以克服的困難，而這主要困難，我覺得就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的順序和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的順序的相反的。一本經(jīng)典的數(shù)學(xué)分析書，往往適合在學(xué)習(xí)這門課之后若干年后翻閱，而很難讓初學(xué)者感受其微言大義。
比如說，分析的嚴(yán)密化大概是19世紀(jì)，由德國(guó)，法國(guó)的幾位數(shù)學(xué)家來完成的。而牛頓，萊布尼茨時(shí)代，沒有這套東西。但是作為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分析教材，則往往需要倒過來敘述，也就是先講威爾斯特拉斯的極限定義，加上柯西收斂原理，戴德金分割等等。然后才在這些基礎(chǔ)之上，來定義積分，微分等等。
誠(chéng)然，不少名人傳記是從傳主的黃金歲月開始寫起，然后延及其青蔥歲月，這有時(shí)倒增添了文學(xué)作品的趣味。但是作為教科書來講，邏輯上“倒敘”的做法，實(shí)是讓人無法消受。
試想，以牛頓，萊布尼茨的天才，終其一生尚且未能意識(shí)到（或者解決）分析嚴(yán)密化的問題。以一般人的天資，恐怕也只能學(xué)懂（照貓畫虎總是不困難的），但對(duì)其真正奧義則需要一個(gè)長(zhǎng)期的理解過程。這或許就是所謂的maturity吧。
如果把數(shù)學(xué)教材按照故事發(fā)生的順序來敘述，比方說，先來個(gè)不嚴(yán)密的積分，微分定義，然后解決幾何學(xué)，物理學(xué)中的許多例題，最后再來寫分析嚴(yán)密化，這恐怕大多數(shù)老師是不敢茍同的。龔昇先生的簡(jiǎn)明微積分大概就是這個(gè)路子，但是贊同的人不多。所以把數(shù)學(xué)知識(shí)體系比喻作高樓大廈，大概這座樓房是先蓋了樓頂，再打地基的�？梢娮鬟@個(gè)比喻的人，并不真正了解數(shù)學(xué)發(fā)展的因果和淵源。
再說另外一個(gè)問題，對(duì)于工程師或科學(xué)家，數(shù)學(xué)大體上是門工具學(xué)科，但是如果在教材中剝離了實(shí)際的背景，只是羅列具體的知識(shí)，那教材只會(huì)變成方便面，或者是脫水蔬菜，而讓人味同嚼蠟。
比如說，矩陣特征值問題，包括對(duì)角化的問題，在國(guó)內(nèi)某通用教材的引言中，是這么寫的，“在科學(xué)研究和工程實(shí)踐中，常常遇到Ax=lambda*x此類問題。”一筆帶過，下面就開始討論如何解決問題了。
普通學(xué)生學(xué)習(xí)這章不會(huì)有多大困難，但是對(duì)如何運(yùn)用，大多則發(fā)生了困難。
因?yàn)榇蠖鄶?shù)老師并沒有講任何實(shí)際的例子，而大學(xué)畢業(yè)以后，如果不從事專門的研究工作，則沒有任何機(jī)會(huì)來遇到它。對(duì)于矩陣特征值，特征向量的豐富內(nèi)涵，則更是無福消受了。
其實(shí)，矩陣特征值問題，包括更一般的線性代數(shù)問題，都是有著極強(qiáng)的實(shí)際背景的。最簡(jiǎn)單的問題，可能就是幾何變換的問題。如果在線性代數(shù)教材里面舉些具體的解析幾何例子，可能對(duì)學(xué)習(xí)代數(shù)本身以及了解其應(yīng)用都有很多助益。
